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engenharia:bel_decibel

Bel DeciBel

Para entender o conceito de decibel temos que falar de outro conceito o logaritmo. vamos a eles

Logaritmo

Os logaritmo resumindo são um estudo da matemática que visa diminuir os cálculos matemáticos. São utilizados na engenharia, eletricidade, Radio Frequencia, Fibras Ópticas, etc.

Quem criou os logaritmos foi John Napier para resolver cálculos matemáticos que na época era muito dificil e extenso. Napier conseguiu resolver equações complexas em menos tempo e de forma mais simples. Napier desenvolveu o logaritmo transformando um número complexo extenso e dificil em um número simples de usar e calcular.

Vamos a um exemplo:

$10^0=1$
$10^1=10$
$10^2=100$
$10^3=1000$
$10^4=10000$

Calculo $10^0$ $10^1$ $10^2$ $10^3$ $10^4$
Expoente 0 1 2 3 4
resultado 1 10 100 1000 10000

Note que existe relação entre o resultado e o expoente. Por exemplo para o valor de resultado igual a 50 qual seria o expoente? Ele estaria entre o expoente 1 e 2. Vamos fracionar e descobrir qual expoente dará o resultado 50 ou perto disso.

Calculo $10^0$ $10^{1.1}$ $10^{1.2}$ $10^{1.3}$ $10^{1.4}$ $10^{1.5}$ $10^{1.6}$ $10^{1.7}$
Expoente 0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
resultado 10 12.58 15.84 19.95 25.11 31.62 39.81 50.11

Analisando o número 50 esta entre os expoente 1.6 e 1.7. Isso é o logaritmo

O logaritmo do número 50 na base 10 é igual a 1,6990

Via Matlab ou Octave percebemos isso:

octave:8> log10(50)
ans =  1.6990
octave:9>

$log_{10}(50)=1.69$ isso é equivalente a $10^{1.6990}=50.003$

Blz e para que isso serve? vamos dizer assim descobri a forma inversa e agora?

Bom você alterando o calculo de uma forma numerica para a forma logaritma.

Napier percebeu que a base logaritma pode ser feito para qualquer base(base 2, base 10, etc)

então o seguinte cálculo:

$10^2 * 10^3 = 10^{2+3}$
$100 * 1000 = 10^5$
$100000 = 100000$

Poderia ser feito por logaritmo da seguinte forma

$log_{10}(100) + log_{10}(1000) = log_{10}(100 * 1000)$
$2 + 3 = log_{10}(6)$
$ 2 + 3 = 5$
$ 5 = 5$

Abaixo as propriedades dos logaritmos

Agora porque tudo isso? Imagine na época de Napier não tinhamos supercomputadores, ou mesmo um core2 duo, ou até mesmo uma HP50G, sendo assim Napier criou tabelas de logaritmos, para os calculos serem mais rápido.

Bel e Decibel

Inicialmente a unidade Bel(B) era chamada TU(Unidade de transmissão ou em inglês Transmission Unit), depois os laboratórios Bell rebatizaram de Bel(B) em homenagem a Graham Bell. O Bel era utilizado para medir a atenuação de um cabo telefônico entre um enlace de 1 milha(1.60km) de comprimento.

Sendo assim temos um sinal entranto em um sistema de 1 milha de distancia sendo que a atenuação sofrida nessa 1 milha equivale a 1 Bel.

Porém a unidade Bel era um numero muito grande então resolveram diminuir esse valor em um fração de 10 por isso o nome DeciBel, 1 decimo de Bel. Sendo assim:

$\frac{1b}{10} = 1db$

Então o decibel é uma relação do sinal de entrada em um sistema e da saida do mesmo sinal do sistema. O sinal pode perder ou ganhar informação, atenuação ou ganho.

A formula matemática para este calculo de ganho:

$ganho(db) = \frac{Potencia_{saída}}{Potencia_{entrada}}$

Para um sistema com uma entrada de 500mW e saída de 10W temos:

$ganho = \frac{10W}{0.5W}$
$ganho = 20$

Temos um ganho de 20 vezes do valor de entrada na saída.

Agora vamos utilizar a escala logaritma.

$ganho(db) = 10 . log(\frac{Potencia_{saída}}{Potencia_{entrada}})$
$ganho(db) = 10 . log(\frac{10W}{0.5W})$
$ganho(db) = 13 db$

Podemos converter as unidades de W para dbm(decibel miliwats)(é sabido que 1db vale 0.001W). A fórmula abaixo e utilizada para converter de W para dbm:

$Potencia(dbm)=10 . log_{10}(\frac{Potencia_{watts}}{0.001W})$

Vamos converter as duas potência de entrada e saida para dbm:

-0.5W(500mW)
$Potencia(dbm)=10 . log_{10}(\frac{0.5{watts}}{0.001W})$
$Potencia(dbm)=10 . log_{10}(500)$
$Potencia(dbm)=10 . 2.6 $
$Potencia(dbm)=26.9 dbm$

-10W
$Potencia(dbm)=10 . log_{10}(\frac{10{watts}}{0.001W})$
$Potencia(dbm)=10 . log_{10}()$
$Potencia(dbm)=10 . 4 $
$Potencia(dbm)=40 dbm$

Como temos uma divisão então segundo a propriedades do logaritmo teremos uma subtração de logaritmo.

$ganho(db) = 10 . log(\frac{Potencia_{saída}}{Potencia_{entrada}})$

$ganho(db) = Potencia_{saída}(dbm) - Potencia_{entrada}(dbm)$
$ganho(db) = 40dbm - 26.9dbm$
$ganho(db) = 13.10 db$

Viu como o logaritmo o calculo fica mais fácil. Mais uma coisa se o valor for positivo tivemos um ganho se o valor for negativo tivemos uma atenuação

Valor positivo ganho
Valor negativo atenuação

Exemplo de atenuação

Rádio frequência

Exemplo de calculo de um circuito de rádio.

Se fosse realizar um cálculo utilizando potência em Watts olha o trabalho que teriamos:

Olha o tamanho da encrenca os calculos muito grande ou muito pequenos. Dificil na escala logaritma fica bem mais simples.

Fibra Óptica

Obs: Todos os valores jogados nos exemplos são criados e não fazem uma relação com um ambiente real.

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engenharia/bel_decibel.txt · Última modificação: 2019/03/13 19:28 por ricardobarbosams